23. Matematiniai galvosūkiai

Karalius Kyras į nelaisvę paėmė 100 žymių priešų. Juos uždarė vienutėse, kurių kiekvienos raktą saugojo pats Kyras. Kameros buvo atrakinamos pirmu rakto pasukimu, užrakinamos antru pasukimu, vėl atrakinamos trečiu pasukimu ir t. t. Kyras nusprendė savo gimimo dieną paleisti visus belaisvius. Kadangi jie vis tiek turėjo būti išlaisvinti, jis paliepė dvariškiui atrakinti visas kameras. Tačiau belaisviai negalėjo išeiti į laisvę, nes koridorių saugojo iki dantų ginkluota sargyba. Bet rytojaus dieną Kyras persigalvojo ir liepė pasukti raktą antros, ketvirtos, šeštos ir visų kitų lyginių kamerų spynų. Trečią dieną tas pats buvo padaryta su trečios, šeštos, devintos ir t. t. kamerų spynomis. Kasdien raktai būdavo sukami tų kamerų, kurių numeriai buvo tos dienos skaičiaus kartotiniai. Šimtąją dieną buvo pasuktas tik šimtosios kameros spynos raktas. Tą dieną Kyras šventė savo gimtadienį, todėl sargyba buvo paleista. Belaisviai, kurių kameros buvo atrakintos, išėjo į laisvę. Kiek belaisvių paleido karalius Kyras?

Atsakymas: Iki karaliaus Kyro gimimo dienos kamerų užraktai buvo pasukti tiek kartų, kiek tos kameros numeris turi daliklių. Ir išties, jei N dalijasi iš 1, a, b,…, N , tai kamera, turinti šį numerį, buvo rakinama pirmą, a-tą, b-tą,…, N – tą dienomis. Į laisvę galėjo išeiti tik tie, kurių kameros buvo rakinamos nelyginį skaičių kartų, t. y. kurių numeriai turi nelyginį skaičių daliklių. Kiekvienas skaičius, kuris nėra natūrinio skaičiaus kvadratas, turi lyginį skaičių daliklių. Jei a yra toks skaičius, tai kiekvienam jo dalikliui, pavyzdžiui, b, galima nurodyti kitą, jam nelygų papildomą daliklį x = a/b. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 daliklį 1 atitinka daliklis 8, daliklį 2 — daliklis 4. Tačiau jei skaičius yra natūrinio skaičiaus kvadratas, tarkime a^2, tai daliklio a papildomas daliklis bus lygus jam pačiam. Todėl natūrinio skaičiaus kvadratas turi nelyginį skaičių daliklių. Pavyzdžiui, skaičiaus 9 dalikliai yra 1, 3 ir 9. Tad karalius Kyras paleido tuos belaisvius, kurių kameros buvo sunumeruotos natūrinių skaičių kvadratais. Tai kameros, turinčios numerius: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Vadinasi, karalius Kyras pasigailėjo 10 belaisvių.