43. Matematiniai galvosūkiai

Keturi draugai atsidūrė negyvenamoje saloje. Nusiskynę bananų, jie užmigo. Naktį atsibudo vienas jų, suskaičiavo bananus, vieną atidavė netoliese buvusiai beždžionėlei, likusius padalijo į keturias lygias dalis, suvalgė vieną dalį ir vėl užsnūdo. Tą patį padarė ir visi kiti draugai. Kokį mažiausią bananų kiekį jie buvo nusiskynę?

Atsakymas: Sakykime, kad draugai nusiskynė a bananų. Kadangi tą kiekį padalijus iš 4 gaunama liekana 1, tai a = 4m + l (m — natūrinis skaičius). Savo draugams pirmasis paliko 3m bananų. Tačiau ir tą kiekį padalijus iš keturių liekana yra 1. Todėl 3m = 4k + l (k — natūrinis skaičius). Analogiškai nustatome, kad ir 3k = 4s + l bei 3s = 4r + 1 (s ir r yra natūriniai skaičiai). Iš čia išplaukia, kad s = r + (r + 1)/3. Vadinasi, r + l = 3u. Tuomet s = 4u – l. Bet 3k = 16u — 3, todėl u = 3v (v — natūrinis skaičius). Taip pat nustatome, kad v = 3t (t irgi yra natūrinis skaičius), nes 3m = 64v — 3. Vadinasi, a = 4(64t — l) + l = 256t — 3. Mažiausią teigiamą a reikšmę turėsime, kai t = l ; tuomet a = 253.