44. Matematiniai galvosūkiai

Legenda pasakoja, kad Indijos šachas nutarė apdovanoti šachmatų išradėją. Šachas pasikvietė jį į rūmus ir pasiūlė pasirinkti brangenybę. Išradėjas atsisakė įvairių brangakmenių bei aukso ir paprašė už pirmą šachmatų lentos laukelį vieną kviečio grūdą, už antrą — du grūdus, už trečią — keturis ir t. t. už kiekvieną kitą dvigubai daugiau grūdų. Šachas nusijuokė: „Kad ir paikas tu: dėl kelių maišų grūdų atsisakai tokių brangenybių”. Ir galima įsivaizduoti, kaip jis nustebo, kai atėjęs tarnas pranešė, jog prašomo grūdų kiekio ne tik kad dabar nėra, bet ir neturėta per visą šacho valdymą. Kiek grūdų užsiprašė šachmatų išradėjas?

Atsakymas: Vargšas šachas! Jis nežinojo, kas yra geometrinė progresija. O šachmatų išradėjas buvo ne tik puikus šachmatininkas, bet ir gana geras matematikas. Šachmatų išradėjas užsiprašė tiek grūdų, kokia yra pirmųjų 64 geometrinės progresijos narių suma 1 + 2 + 2^2+ … + 2^63. Tai skaičius, turintis net 20 skaitmenų. Tokį grūdų kiekį gal i užauginti žemė, 28 kartus didesnė už Žemės sausumą. Tačiau svarbiausia yra ne tai. Yra žinoma, kad l + 2 + 2^2 + … + 2^k = 2^(k + 1) — 1. Pagrindinė geometrinės progresijos, kurią nurodė šachmatų išradėjas, savybė yra ta, kad už kiekvieną tolesnį laukelį tenka mokėti beveik tiek kviečių, kiek jų yra atiduota už visus prieš jį einančius laukelius. Tad tai, kad šachmatų išradėjas už pirmą laukelį užsiprašė tik vieną kviečio grūdą, yra viso labo apgaulingas manevras. Jau už penkioliktą laukelį tenka pakloti 2^14 = 16192 kviečių grudus, o už kitus ir dar daugiau.